Función
lineal
Función
lineal.
En geometría y el álgebra
elemental, una función
lineal es una función
polinómica de primer
grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir
como:
donde m
y b son constantes reales y x es una variable real.
La constante m es la pendiente de la recta, y b es el
punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m
entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b,
entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos
autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:
mientras
que llaman función afín a la que tiene la forma:
cuando b
es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación
lineal, en el
contexto de álgebra
lineal.
Ejemplo
Una
función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:
En la
figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales
siguientes:
en esta
recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente
de la recta), es
decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en
1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en
el punto y= 2.
En la
ecuación:
la
pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor
de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una
unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b=
5.
En una
recta el valor de m se corresponde al ángulo 
de
inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
de
inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
Funciones lineales de varias variables
Las
funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones
geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma
representa
un plano y una función
representa
una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por
el origen de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional.
FUNCIONES Y ECUACIONES LINEALES
EN CONTEXTO
INTRODUCCIÓN
Una ecuación
de primer grado o ecuación lineal significa que es un
planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera
potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra
solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Son
llamadas lineales porque representan rectas en el sistema cartesiano. Una forma
común de ecuaciones lineales es y = mx + c. Donde m representa la pendiente
y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta
al eje Y).
Las ecuaciones
lineales son un sistema en el que hay que resolver el valor de una
cantidad N de incógnitas. Los sistemas lineales de dos incógnitas
se pueden resolver con el método de igualación o con el método gráfico, entre
otros. Un sistema de ecuaciones es compatible cuando tiene soluciones. Si la
solución es única se llama Determinado y si tiene infinitas soluciones, se
llama Indeterminado.
ACTIVIDAD
1. CONCEPTOS GENERALES Fecha de entrega martes 17 de abril
del 2012
Copia los
siguientes conceptos en tu cuaderno
1.
Igualdad: Es la
expresión de dos cantidades o expresiones algebraica que tienen el mismo valor,
por ejemplo:
a = a + b ó
3x2 = 4x + 15
2. Ecuación: Es una igualdad en la que hay
una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica
o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas
se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, x, y,z.
Así la
ecuación: 5x + 2 = 17, es una igualdad en la que hay una incógnita
x, y esta igualdad solo se verifica o es verdadera, para el
valor de x= 3. Para comprobar sustituimos el valor de x en la ecuación y se
demuestra la igualdad. 5 (3) + 2
= 17
15
+ 2 = 17
17 = 17
Cualquier
otro valor distinto de x, no verifica la igualdad.
3. Partes
de la igualdad: Se llama primer miembro de una igualdad a la expresión que está a la
izquierda del signo igual (=). Se llama segundo miembro
en una igualdad a la expresión que está a la derecha del signo igual (=).
4x – 6
=
2x – 4
miembro
izquierdo
miembro derecho
Los
términos de una igualdad son cada una de las cantidades que están
separadas por los signos (+) ó (-), en le expresión anterior
los términos son: 4x, – 6, 2x, -4
4.
Propiedades de una igualdad: Desde el punto de vista algebraico las
igualdades son el principal fundamento de las ecuaciones, por lo que es
importante conocer las propiedades de las mismas.
a)
Propiedad de identidad o reflexiva: toda cantidad es igual a la misma.
A =
A;
a
+ b = a + b;
=
b)
Propiedad simétrica o recíproca: Los miembros de una igualdad se pueden
intercambiar sin que esta se altere:
A
= B como B =
A; 5x + 2 = 17
como 17 = 5x + 2
c)
Propiedad transitiva: Si una cantidad es igual a otra y ésta a su vez es igual
a una tercera, entonces la primera es igual a la tercera, a sea, si dos
cantidades son iguales a una tercera son iguales entre sí.
A
= B
y
B
= C
por lo tanto
A
= C
x + 3 =
12
12
= a + b
X
+ 3 = a + b
d)
Propiedad fundamental de la igualdad: Si en ambos miembros de una igualdad se
efectúan las mismas operaciones con las mismas cantidades la igualdad no se
altera, sino que se conserva, por ejemplo.
Si x = y
al sumar en ambos miembros de la igualdad se obtiene lo siguiente:
x +
a = y + a
ó
x – b = y – b
ó
(x)
(z) = (y) (z)
ACTIVIDAD
2. DESPEJES DE UNA IGUALDAD Fecha de entrega martes 17 de abril
del 2012
Pasa la
siguiente información a tu cuaderno.
Despejar
una literal en una igualdad consiste en despejar la literal sola en uno de los
miembros de la igualdad. Ejemplo:
A)
En la expresión algebraica a = bx +
c, despejar x.
1. De preferencia la literal que se
desea despejar debe quedar sola en el primer miembro de la igualdad; utilizando
la propiedad simétrica bx +
c = a
2. Los términos que no tengan la
literal a despejar deben pasarse al segundo miembro de la igualdad; para esto
se utiliza la propiedad del inverso aditivo y propiedad fundamental de la igualdad
bx
+ c – c = a – c
› bx = a – c
3. Para eliminar b del primer
miembro se aplica la propiedad del inverso multiplicativo y la propiedad
fundamental de la igualdad
=
por lo tanto,
x =
Observase
que despejar una literal es dejarla sola en uno de los miembros con
coeficientes y exponentes unitarios.
B)
En la siguiente expresión xy3 – p = k
despejar y
1. Para eliminar la p del miembro
izquierdo, sumamos p en ambos miembros, con base en la propiedad fundamental,
se obtiene:
xy3
– p + p = k + p por lo
tanto, xy3 = k + p
2. Se divide x en ambos miembros de
la igualdad:
=
por
lo tanto, xy3 = k + p
3. Por último se le extrae la raíz
cubica a ambos miembros de la igualdad.
=
por lo tanto,
y =
